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Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
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Grao en Tecnoloxía da Enxeñaría Civil
 Asignaturas
  Cálculo infinitesimal I
   Contenidos
Tema Subtema
I. EL NÚMERO REAL. 1. Introducción. Condición necesaria y suficiente. Demostración por reducción al absurdo.
2. Sucesivas ampliaciones del concepto de número: números naturales, enteros, racionales. Conjuntos numerables y Principio de Inducción.
3. Estructura de cuerpo; relación de orden; cuerpo ordenado; cotas y extremos; valor absoluto.
4. Sucesiones convergentes y de Cauchy en Q.
5. Propiedades de Q.
6. Necesidad de ampliar Q: los números reales.
7. Propiedades de R.
8. Operaciones en R.
II. ESPACIOS MÉTRICOS. 1. Definición y propiedades.
2. Bolas y entornos.
3. Puntos notables de un espacio métrico.
4. Conjuntos notables de un espacio métrico.
5. Conjuntos cerrado, abierto, compacto.
6. El espacio métrico (R,||): distancia, abiertos y cerrados; teorema de Bolzano-Weierstrass.
III. SUCESIONES NUMÉRICAS. 1. Definición; concepto de límite; tipos de sucesiones.
2. Propiedades de los límites.
3. Sucesiones monótonas y de intervalos encajados.
4. Operaciones con límites.
5. Tipos de indeterminación.
6. Criterios de convergencia: Stolz, Media Aritmética, Media Geométrica, Regla de la raíz.
7. Infinitos e infinitésimos. Orden y parte principal. Órdenes de infinitud.
8. Sucesiones equivalentes.
9. Sustitución por sucesiones equivalentes.
10. Métodos de cálculo de límites: formas del número e; expresiones polinómicas; recurrencia, integración; equivalencias; cambio del tipo de indeterminación.
IV. FUNCIONES EN R. A. NOCIONES GENERALES
1. Función: definición; dominio; recorrido.
2. Operaciones con funciones.
3. Tipos de funciones.

B. LÍMITES DE FUNCIONES
1. Límite funcional.
2. Límites laterales.
3. Extensión del concepto de límite.
4. Límite por sucesiones.
5. Propiedades de los límites.
6. Operaciones con límites.
7. Tipos de indeterminación.
8. Infinitos e infinitésimos.
9. Funciones equivalentes en un punto.
10. Sustitución por funciones equivalentes.

C. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
1. Función continua.
2. Continuidad lateral.
3. Discontinuidades.
4. Operaciones;
5. Continuidad de las funciones elementales.
6. Composición de funciones continuas.
7. Teoremas de las funciones continuas.
8. Continuidad uniforme. Teoremas.

D. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES
1. Función derivable y diferenciable.
2. Continuidad y diferenciabilidad.
3. Operaciones con funciones diferenciables.
4. Regla de la cadena. Aplicaciones.
5. Derivada de la función inversa.
6. Teoremas del valor medio: Rolle, Cauchy, Lagrange.
7. La derivada como límite de derivadas.
8. Reglas de L'Hôpital.
9. Derivadas sucesivas.
10. Desarrollos limitados de Taylor y Mc Laurin; término complementario de Lagrange; teorema del extremo relativo; aplicaciones: extremos de funciones; desarrollos deducidos de otros.
11. Representación de curvas en cartesianas y polares.
V. CÁLCULO DE PRIMITIVAS. 1. Primitiva de una función.
2. Linealidad de la integral.
3. Integrales inmediatas.
4. Métodos de cálculo de primitivas: semiinmediatas; cambio de variable; partes; fórmulas de reducción; racionales; trigonométricas; irracionales.
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