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Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
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Grao en Tecnoloxía da Enxeñaría Civil
 Asignaturas
  Cálculo infinitesimal II
   Contenidos
Tema Subtema
I. INTEGRACIÓN. 1. Primitiva de una función: definición y condición necesaria de existencia.
2. Integral según Riemann: Sumas de Darboux; condiciones de integrabilidad; propiedades.
3. Teorema de la media.
4. Primer Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow.
5. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.
6. Integrales impropias.
7. Aplicaciones de la integral definida: cálculo de áreas planas, volúmenes, arcos y superficies de revolución.
II. FUNCIONES VECTORIALES. 1. Tipos de funciones.
2. Espacio euclídeo: producto escalar ordinario; norma y distancia euclídeas.
3. Funciones vectoriales de variable real: límite; continuidad; diferenciabilidad.
4. Funciones reales de variable vectorial: límite funcional y direccional; continuidad; diferenciabilidad; derivadas direccional y parcial; diferencial; teoremas.
5. Funciones vectoriales de variable vectorial: límite; continuidad; diferenciabilidad.
6. Composición de funciones: continuidad y diferenciabilidad de la función compuesta; regla de la cadena.
7. Derivadas de orden superior: derivadas cruzadas; diferenciales sucesivas.
8. Desarrollo de Taylor: expresión general; expresión matricial.
9. Extremos relativos: condiciones necesaria y suficiente de extremo; determinación del tipo de forma cuadrática.
10 Función implícita: definición; teorema de existencia y diferenciabilidad para dos variables; generalización.
11. Extremos condicionados: método de los multiplicadores de Lagrange.
12. Derivada de la función inversa.
III. SERIES NUMÉRICAS. 1. Definiciones.
2. Series aritmética y geométrica.
3. Condición necesaria de convergencia.
4. Propiedades de las series.
5. Criterio general de convergencia de Cauchy.
6. Criterios de convergencia de las series de términos positivos: mayorante y minorante; comparación; Pringsheim; Raiz; Cociente; Raabe; Logarítmico; Condensación.
7. Series de términos positivos y negativos: convergencia y divergencia absoluta e incondicional; teoremas de Riemann, Dirichlet y Leibnitz.
8. Métodos de suma de series.
IV. SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES. 1. Sucesiones funcionales: definición; convergencia simple y uniforme; sucesiones de funciones continuas.
2. Series funcionales: definición; convergencia simple y uniforme; criterios de Cauchy y de la mayorante; continuidad; integración; derivación.
3. Series de potencias: teorema de Cauchy-Hadamard; continuidad, derivación e integración; teoremas de Abel.
4. Desarrollo de una función en serie de potencias. Serie de Taylor.
V. NÚMEROS COMPLEJOS. 1. Definición y operaciones básicas.
2. Formas binómica y trigonométrica; representación gráfica.
3. Conjugado, opuesto e inverso; cociente.
4. Exponencial compleja; fórmula de Euler.
5. Potencia natural de un complejo; fórmula de Moivre.
6. Raíz de un complejo.
7. Teorema Fundamental del Álgebra.
8. Logaritmo neperiano de un complejo (optativo).
9. Potencia compleja de un complejo (optativo).
10. Funciones hiperbólicas y trigonométricas en C (optativo).
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