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Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
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Grao en Tecnoloxía da Enxeñaría Civil
 Asignaturas
  Cálculo infinitesimal II
   Contenidos
Tema Subtema
I. INTEGRACIÓN. 1. Primitiva de una función: definición y condición necesaria de existencia.
2. Integral según Riemann: Sumas de Darboux; condiciones de integrabilidad; propiedades.
3. Teorema de la media.
4. Primer Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow.
5. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.
6. Integrales impropias.
7. Aplicaciones de la integral definida: áreas planas, volúmenes, arcos y superficies de revolución.
II. FUNCIONES VECTORIALES. 1. Tipos de funciones.
2. Espacio euclídeo: producto escalar ordinario; norma y distancia euclídeas.
3. Funciones vectoriales de variable real: límite; continuidad; diferenciabilidad.
4. Funciones reales de variable vectorial: límite funcional y direccional; continuidad; diferenciabilidad; derivadas direccional y parcial; diferencial; teoremas.
5. Funciones vectoriales de variable vectorial: límite; continuidad; diferenciabilidad.
6. Composición de funciones: continuidad y diferenciabilidad de la función compuesta; regla de la cadena.
7. Derivadas de orden superior: derivadas cruzadas; diferenciales sucesivas.
8. Desarrollo de Taylor: expresión general; expresión matricial.
9. Extremos relativos: condiciones necesaria y suficiente de extremo; determinación del tipo de forma cuadrática.
10 Función implícita: definición; teorema de existencia y diferenciabilidad para dos variables; generalización.
11. Extremos condicionados: método de los multiplicadores de Lagrange.
12. Derivada de la función inversa (optativo).
III. SERIES NUMÉRICAS. 1. Definiciones.
2. Serie geométrica.
3. Condición necesaria de convergencia.
4. Propiedades de las series.
5. Criterio general de convergencia de Cauchy.
6. Criterios de convergencia de las series de términos positivos: mayorante y minorante; serie de Riemann; comparación; raiz; cociente; Raabe; logarítmico; condensación.
7. Series de términos positivos y negativos: convergencia y divergencia absoluta e incondicional; teoremas de Riemann, Dirichlet y Leibnitz.
8. Métodos de suma de series: descomposición del término general; a partir de la armónica; a partir del desarrollo de la exponencial de x; hipergeométricas.
IV. SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES. 1. Sucesiones funcionales: definición; convergencia simple y uniforme; sucesiones de funciones continuas.
2. Series funcionales: definición; convergencia simple y uniforme; criterio de la mayorante; continuidad; integración; derivación.
3. Series de potencias: teorema de Cauchy-Hadamard; continuidad, derivación e integración; teoremas de Abel.
4. Desarrollo de una función en serie de potencias. Serie de Taylor.
V. NÚMEROS COMPLEJOS. 1. Introducción.
2. Definición, forma binómica y operaciones básicas.
3. Forma trigonométrica; representación gráfica.
4. Conjugado, opuesto e inverso; cociente.
5. Exponencial de un complejo; fórmula de Euler.
6. Potencia natural de un complejo; fórmula de Moivre.
7. Raíz de un complejo.
8. Teorema Fundamental del Álgebra.
9. Logaritmo neperiano de un complejo (optativo).
10. Potencia compleja de un complejo (optativo).
11. Funciones hiperbólicas y trigonométricas en C (optativo).
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