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Grao en Enxeñaría Naval e Oceánica
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  Ecuaciones diferenciales
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Tema Subtema
Los bloques o temas siguientes desarrollan los contenidos establecidos en la ficha de la Memoria de Verificación Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior a uno; transformada de Laplace; ecuaciones definidas por series; sistemas de ecuaciones diferenciales; métodos numéricos de integración: problema de valor inicial; ecuaciones en derivadas parciales; ecuaciones en diferenciales totales y en derivadas parciales no lineales; cálculo en variable compleja
0. INTRODUCCIÓN 0. INTRODUCCIÓN.
0.1. Definiciones. Orden de una ecuación diferencial. Clasificación.
0.2. Tipos de soluciones: solución general y solución particular.
0.3. Ecuación diferencial de un haz de curvas planas. Consideraciones geométricas: Curvas isoclinas y curvas integrales.
0.4. Soluciones singulares.
1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: PRIMER ORDEN. 1.1. Teorema de existencia y unicidad de la solución.
1.2. Ecuaciones de variables separadas. Trayectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas y polares.
1.3. Ecuaciones reducibles a una de variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones reducibles a homogéneas.
1.4. Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes.
1.5. Factores Integrantes funciones de un sólo argumento. Ecuaciones lineales. Propiedad fundamental de las ecuaciones lineales.
1.6. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicaciones geométricas.
1.7. Ecuaciones de primer orden no lineales en y'. Ecuaciones resolubles en y', resolubles en x, en y. Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
1.8. Interpretación geométrica de las soluciones singulares. Envolvente de un haz de curvas.
1.9. Trayectorias de un haz de curvas planas.
2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 2.1. Definiciones Generales. Génesis de las ecuaciones diferenciales de orden n. Teorema de existencia y unicidad de la solución.
2.2. Tipos de ecuaciones cuyo orden puede rebajarse: ecuaciones en las que falta la y, ecuaciones en las que falta la y y sus "k i" primeras derivadas; ecuaciones en las que falta la x, ecuaciones en las que falta la y y la x, Ecuaciones diferenciales en 2 derivadas. Ecuaciones homogéneas en y, y;.. y . Aplicaciones.
2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Definiciones. Concepto de Operador lineal. Propiedades del operador. Teoremas sobre las soluciones particulares de la ecuación incompleta. Ecuación homogénea y no homogénea. Condición de dependencia de las soluciones particulares.
2.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Forma de la integral general de la ecuación homogénea. Ecuación característica. Solución general de la ecuación completa.
2.5. Métodos para integrar las ecuaciones diferenciales lineales completas. Método de variación de las constantes. Aplicación del método de variación de las constantes en el caso de tener un número insuficiente de soluciones particulares.
2.6. Fórmula de Liouville Ostrogradski.
2.7. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Matriz de Vandermonde. Ecuación característica. Cálculo de raíces. Tipos de raíces: distintas (reales y complejas) y múltiples (reales y complejas). Resolución Ecuación completa. Métodos: 1 º Variación de las constantes. 2º Según la forma de «x).
2.8. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler.
3. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 3.1. Transformada de Laplace. Algunas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades.
3.2. Transformada Inversa. Primer Teorema de desplazamiento.
3.3. Derivada e integrales de transformadas. Aplicaciones.
3.4. Convolución de funciones y producto de transformadas
4. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINIDAS POR SERIES. 4.1. Definiciones. Soluciones por Series de Potencias para ecuaciones de primer orden.
4.2. Soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales lineales.
4.3. Ecuación de Legendre.
4.4. Ecuación de Hermite.
4.5. Puntos singulares.
4.6. Solución alrededor de un punto singular.
4.7. Resumen y casos particulares. 4.8. Ecuación de Bessel.
4.9. Propiedades de las funciones de Bessel.
4.10. Funciones modificadas de Bessel.
4.11. Funciones Ber, bei, ker, kei.
5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. 5.1. Génesis de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Condiciones de Integrabilidad.
5.2. Métodos de Integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Método de reduces o de eliminación. Métodos basados en el uso del operador D. Métodos basados en el uso de la Transformada de Laplace.
5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de existencia y. soluciones de los sistemas homogéneos. Matriz fundamental. Solución del sistema no homogeneo. Método de variación de las constantes.
5.4. Métodos de reducción de sistemas de orden superior al 1 Q. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes.
6. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. 6.1. Definición. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y cuasilineales.
6.2. Ecuación Funcional.
6.3. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
6.4. Integración de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
6.5. Ecuaciones homogéneas.
6.6. Integración de ecuaciones en Derivadas parciales con más de 2 variables independientes.
6.7. Ecuaciones en Derivadas Parciales con más de 2 variables independientes.
6.8. Cálculo de superficies Ortogonales.
7. ECUACIONES EN DIFERENCIALES TOTALES. 7.1. Definición. Condición de Integrabilidad.
7.2. Método de Integración: Método de Natan.
7.3. Reducción a una ecuación de 2 variables
7.4. Ecuaciones en Diferenciales totales Homogéneas.
7.5. Teorema sobre Integrabilidad.
8. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES. 8.1. Generación de ecuaciones en derivadas parciales no lineales.
8.2. Método de LagrangeCharpit para la obtención de la Integral completa.
8.3. Método de Darboux.
8.4. Soluciones: Integral general y solución Completa. Método de Lagrange de variación de las constantes.
8.5. Integración de casos particulares.
9. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. 9.1. Funciones complejas de variable compleja. Potencias, Logaritmos, Exponenciales, Funciones Trigonométricas.
9.2. Límites de las funciones complejas. Derivada de una función compleja en un punto.
9.3. Ecuaciones de Cauchy Riemann. Funciones analíticas u holomorfas. Funciones armónicas.
9.4. Integración curvilínea. Cambio de variable en la parametrización de un camino.
9.5. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville, principio de módulo máximo.
9.6. Sucesiones y Series de Funciones Complejas. Series de Laurent. Singularidades. Tipos de singularidades. Teorema de los residuos.
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