| Study programme competencies |
| Code | Study programme competences / results |
| Learning aims | |||
| Learning outcomes | Study programme competences / results | ||
| Conocer el lenguaje propio del Cálculo Numérico. | |||
| Ser consciente de la importancia de los errores de redondeo en los cálculos que realiza el ordenador. | |||
| Conocer los métodos numéricos que se presentan en la asignatura, sus propiedades de convergencia y su ámbito de aplicación. | |||
| Ser capaz de utilizar de forma crítica los métodos numéricos que se estudian en la asignatura. | |||
| Ser capaz de implementar de forma eficiente en Fortran los métodos numéricos estudiados en la asignatura y de validar los programas desarrollados. | |||
| Ser capaz de comparar el rendimiento de distintos algoritmos cuando se utilizan para resolver el mismo problema. | |||
| Tener una buena disposición para la resolución de problemas. | |||
| Ser capaz de valorar la dificultad de un problema y de elegir el método numérico más adecuado para resolverlo (de entre los estudiados). | |||
| Ser capaz de utilizar la bibliografía y las herramientas TIC disponibles para encontrar la información necesaria para resolver un problema dado. | |||
| Contents |
| Topic | Sub-topic |
| 1. Introducción al Análisis Numérico |
1. Etapas del estudio matemático de un problema real. 2. Definición de Análisis Numérico. Métodos constructivos. 3. Tipos de problemas en Análisis Numérico. Fuentes de error. 4. Error absoluto y error relativo. Cifras significativas. 5. Representación de números en coma flotante. El estándar IEEE 754. Exactitud de la representación. Errores de overflow y underflow. 6. Aproximación por redondeo y redondeo a cero. 7. Errores de redondeo y estabilidad numérica. 8. Problemas bien condicionados y mal condicionados. 9. La regla de Horner para la evaluación de un polinomio. |
| 2. Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales |
1. Descripción del problema. Solución algebraica y solución numérica. 2. Algunas definiciones y propiedades: Autovalores y autovectores. Radio espectral de una matriz. Normas vectoriales. Normas vectoriales equivalentes. Normas matriciales subordinadas a normas vectoriales. Sucesiones de vectores y de matrices. 3. Condicionamiento de un sistema de ecuaciones lineales. 4. Métodos directos: Resolución de sistemas de matriz diagonal y triangular. Método LU. Método de CholesKy. 5. Métodos iterativos lineales: 5.1 Motivación. Estructura de un método iterativo lineal. 5.2 Criterios de parada. 5.3 Métodos de descomposición: Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Método de relajación. 5.4 Convergencia de los métodos iterativos lineales. |
| 3. Resolución numérica de ecuaciones no lineales |
1. Algunos conceptos previos: Separación de raíces. Condicionamiento en la evaluación de una función. Orden de convergencia. Criterios de parada. 2. Método de bisección. 3. Método de Regula Falsi. 4. Métodos de punto fijo. 5. Método de Newton-Raphson. 6. Variantes del método de Newton-Raphson: Método de Newton simplificado. Método de Newton de paso p. Modificación de Schröder. 7. Método de aceleración de la convergencia de Aitken. Aceleración de métodos de punto fijo de Steffensen. |
| 4. Interpolación polinómica | 1. El problema general de la interpolación 2. Interpolación polinómica de Lagrange: 2.1 Existencia y unicidad del polinomio de interpolación de Lagrange. 2.2 Cálculo del polinomio de interpolación de Lagrange. 2.3 Acotación del error 3. Interpolación por splines: 3.1 Concepto de spline interpolador de orden p. 3.2 Cálculo del spline lineal. 3.3 Cálculo del spline cúbico. |
| 5. Derivación numérica |
1. El problema de la derivación numérica. 2. Derivación numérica de tipo interpolatorio polinómico. Acotación del error. 3. Deducción de fórmulas de derivación numérica usando desarrollos de Taylor. 4. Aproximación de derivadas de orden superior. |
| 6. Integración numérica |
1. Motivación. El problema de la integración numérica. 2. Conceptos de fórmula de integración numérica, error de integración numérica y grado de precisión de una fórmula. 3. Integración numérica de tipo interpolatorio polinómico. Acotación del error. 4. Propiedades de las fórmulas de tipo interpolatorio polinómico. 5. Fórmulas de Newton-Cotes. Acotación del error. 6. Fórmulas de cuadratura compuesta. |
| 7. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias | 1. Motivación. Clasificación de los métodos. 2. Métodos de un paso: 2.1 Método de Euler explícito. 2.2 Método de Euler implícito. 2.3 Método del trapecio. 2.4 Métodos de Taylor. 2.5 Métodos de Runge-Kutta. |
| 8. Programación de métodos numéricos en Fortran | 1. El lenguaje Fortran. 2. Implementación de métodos numéricos en lenguaje Fortran. |
| Planning | ||||
| Methodologies / tests | Competencies / Results | Teaching hours (in-person & virtual) | Student’s personal work hours | Total hours |
| Objective test | 3 | 147 | 150 | |
| Personalized attention | 0 | 0 | 0 | |
| (*)The information in the planning table is for guidance only and does not take into account the heterogeneity of the students. | ||||
| Methodologies |
| Methodologies | Description |
| Objective test | Se trata del examen final de la asignatura. Se propone la realización de una serie de ejercicios, similares a los propuestos en los boletines de problemas. También se pueden realizar cuestiones de índole teórica relativas, por ejemplo, al ámbito de aplicación de los métodos y sus propiedades de convergencia. Habrá una cuestión relativa a la implementación de los métodos en lenguaje Fortran. Esta cuestión no es de respuesta obligada para aquéllos alumnos que hayan superado las prácticas de la asignatura. |
| Personalized attention |
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| Assessment | |||
| Methodologies | Competencies / Results | Description | Qualification |
| Objective test | Se trata de un examen escrito en el que se evalúan los conocimientos teóricos y la capacidad de resolución de problemas del alumno. El 90% del examen corresponde a los contenidos de los Temas 1-7; el 10% restante corresponde a los contenidos del Tema 8. Si el alumno o alumna ha superado las prácticas de la asignatura, no es obligatorio que responda a la cuestión correspondiente al Tema 8 (programación en lenguaje Fortran). Este examen se realiza en las fechas aprobadas por la Junta de Facultad para la realizacion de los exámenes finales de la asignatura. |
100 | |
| Assessment comments | |||
| Sources of information |
| Basic |
Burden, R.L. y Faires, J.D. (2002). Análisis Numérico. Thomson Learning
Kincaid, D. y Cheney, W. (1994). Análisis Numérico: las matemáticas del cálculo científico. . Addison-Wesley
Metcalf, M., Reid, J. y Cohen, M. (2004). Fortran 95/2003 explained. Oxford University Press |
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| Complementary |
Faires, J. D. y Burden, R. (2004). Métodos numéricos. Thomson Learning
Epperson, J.F. (2007). An Introduction to Numerical Methods and Analysis. John Wiley and Sons
Isaacson, E. y Keller, H.B. (2004). Analysis of numerical methods. Dover
Quarteroni, A. y Saleri, F. (2006). Cálculo científico con MATLAB y Octave. Springer
Atkinson, K. y Han, W. (2004). Elementary Numerical Analysis. John Wiley and Sons
Viaño, J. M. (1995). Lecciones de Métodos Numéricos 1. Introducción general y análisis de errores.. Tórculo
Viaño, J. M. (1997). Lecciones de Métodos Numéricos 2. Resolucción de ecuaciones numéricas. Tórculo
Viaño, J. M. y Burguera, M. (2000). Lecciones de Métodos Numéricos 3. Interpolación. Tórculo
Sánchez, J. M. e Souto, A. (2005). Problemas de Cálculo Numérico para ingenieros con aplicaciones Matlab. McGraw-Hill
García Merayo, F., Martín Ayuso, V., Boceta Martínez, S. y Salete Casino, E. (2005). Problemas resueltos de programación en Fortran95. Thomson
Aubanell, A., Benseny, A. y Delshams, A. (1993). Útiles básicos de cálculo numérico. Labor |
Recursos recomendados en la web:Documentación de Fortran: http://triton.fcaglp.unlp.edu.ar/fortran/index.htmlEnlaces y recursos sobre Fortran:- Fortran.com, en http://www.fortran.com/ - Fortran Open Directory, en http://www.dmoz.org/Computers/Programming/Languages/Fortran/ - Fortran At York, en http://www.cse.yorku.ca/~roumani/fortran Compiladores de Fortran (parcialmente compatibles con Fortran 2003):- GFortran, en http://gcc.gnu.org/fortran (Compilador de GNU, parte de (GCC)).Este compilador también se puede descargar de http://gcc.gnu.org/wiki/GFortrany , desde donde también se puede acceder a otra información de interés. - G95, en http://www.g95.org/Este compilador se basa en GCC y en la actualidad lo desarrolla A. Vaught. - Entorno gráfico Photran:En lugar de utilizar los dos compiladores anteriores en entorno de comandos, se recomienda usar un entorno gráfico como Photran, que se puede encontrar en http://www.eclipse.org/photran/ - A través del listado http://www.thefreecountry.com/compilers/fortran.shtml se pueden encontrar otros muchos compiladores libres.Librerías y herramientas de Fortran:- Slax -Edición Fortran, en http://triton.fcaglp.unlp.edu.ar/slax/index.htmlSe trata de una distribución LiveCD del sistema operativo GNU/Linux orientada a estudiantes de Matemáticas o Ingeniería que comienzan a programar en Fortran. Incluye programas específicos de programación en Fortran y de Análisis Numérico (por ejemplo, GFortran, Lapack, GNUplot, Octave y Maxima). - En http://ww.netlib.org se presenta una colección de software matemático, entre el que se incluye la librería Lapack.- GNUplotFortran, en http://gnuplotfortran.sourceforge.net/Es un interfaz de GNUplot para Fortran 95. Puede ser útil para realizar gráficos. - F90GL, en http://math.nist.gov/f90gl/ Permite realizar gráficos con OpenGL para Fortran 90. - Es interesante el listado de librerías libres y comerciales proporcionado en http://www.fortran.com/tools.html
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| Subjects that are recommended to be taken simultaneously |
| Subjects that continue the syllabus | |
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