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Sub-topic |
| BLOQUE I: TEORÍA DE CURVAS Y SUPERFICIES |
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| Tema 1.- Análisis vectorial |
Función vectorial de una y varias variables reales. Derivación de una función vectorial. Campo escalar y campo vectorial. Gradiente, divergencia y rotacional. El operador nabla. El operador de Laplace. Algunas relaciones entre los operadores. Aplicaciones.
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| Tema 2.- Geometría diferencial de curvas. |
Definición de curva alabeada. Longitud de un arco de curva. Elemento diferencial de arco. Triedro intrínseco. Curvatura de flexión y de torsión de curvas alabeadas. Fórmulas de Frenet. |
| Tema 3.- Superficies |
Definición de superficie: formas paramétrica, explícita e implícita. Plano tangente y recta normal a una superficie. Superficies de revolución y de traslación. Superficies regladas. |
| Tema 4.- Elementos de geometría diferencial de superficies |
Elemento diferencial de superficie. Primera forma fundamental. Segunda forma fundamental. Curvatura y direcciones principales: teorema de Meusnier, indicatriz de Dupin, teorema de Euler. Aplicaciones técnicas: influencia del índice de curvatura de Gauss sobre las características geométricas de las láminas |
| Tema 5.- Geometría intrínseca |
Geometría intrínseca. Curvatura geodésica. Geodésicas. |
| BLOQUE II: ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES |
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| Tema 6.- Introducción: Series de Fourier |
Sucesiones y series funcionales. Series trigonométricas. Determinación de los coeficientes de una serie trigonométrica por las fórmulas de Fourier. Teorema de Dirichlet. Otras formas de desarrollo en serie de Fourier. Aplicaciones técnicas. |
| Tema 7.- Generalidades sobre las ecuaciones en derivadas parciales |
Ecuación diferencial en derivadas parciales. Orden. Solución o integral de una ecuación en derivadas parciales. Ecuación diferencial de una familia de superficies. Interpretación geométrica. |
| Tema 8.- Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden |
Integración de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Sistema Equivalente. Caso particular de la ecuación homogénea. Aplicación geométrica. |
| Tema 9.- Ecuaciones en derivadas parciales de orden superior |
Ecuaciones en derivadas parciales de orden superior. Ecuaciones en derivadas parciales lineales. El operador Phi(Dx,Dy); soluciones. Método de separación de variables. |
| Tema 10.- Los tipos canónicos de las ecuaciones lineales en derivadas parciales de segundo orden. |
Reducción de la ecuación lineal de segundo orden a los tipos canónicos. Las curvas características y la reducción a la forma canónica. Casos particulares importantes. Aplicaciones técnicas. |
| BLOQUE III: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES |
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| Tema 11.- El problema del valor inicial. |
El problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. Ecuaciones de orden superior. Necesidad de los métodos numéricos. |
| Tema 12.- Métodos analíticos de resolución de ecuaciones diferenciales. |
Método de Taylor. Esquema de iteración de Picard; ecuación integral equivalente |
| Tema 13.- Métodos numéricos de un paso. |
Método de Euler explícito. Método de Euler implícito. Método de Runge-Kutta de cuarto orden. |
| Tema 14.- Métodos numéricos multipaso. |
Métodos multipaso lineales. Métodos del "predictor-corrector"; método de Milne. |
| Tema 15.- Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales de orden superior. |
Resolución de ecuaciones diferenciales de orden superior. Procedimiento de las Diferencias Finitas. |
| Tema 16.- Problema de valores de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias. |
Planteamiento del problema de valores de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias. Método de las diferencias finitas. |