Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden |
Teorema de existencia y unicidad de la solución.
Ecuaciones en variables separadas. Trayectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas y polares. Ecuaciones reducibles a una ecuación en variables separadas.
Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas.
Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes. Factores Integrantes funciones de un sólo argumento.
Ecuaciones lineales. Propiedad fundamental de las ecuaciones lineales.
Ecuación de Bemoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicaciones geométricas.
Ecuaciones de primer orden no lineales en la derivada. Ecuaciones resolubles en la derivada, resolubles en la variable independiente, en la variable dependiente. Ecuacion de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
Interpretación geométrica de las soluciones singulares: envolvente de un haz de curvas.
Trayectorias de un haz de curvas planas.
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Transformada de Laplace |
Transformada de Laplace. Algunas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades. Funciones definidas a trozos. Funciones periódicas.
Transformada Inversa. Primer Teorema de desplazamiento. Derivada e integrales de transformadas. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Convolución de funciones y producto de transformadas.
Convolución de funcións e produto de transformadas. |
Ecuaciones definidas por series |
Definiciones. Soluciones por series de potencias para ecuaciones de primer orden. Soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales lineales. Ecuación de Legendre. Ecuación de Hermite. Puntos singulares. Solución alrededor de un punto singular. Resumen y casos particulares. Ecuación de Bessel. Propiedades de las funciones de Bessel. Funciones modificadas de Bessel. Funciones Ber, bei, ker, kei. |
Sistemas de ecuacións diferenciais |
Condiciones de Integrabilidad. Métodos de Integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Métodos basados en el uso del operador D. Métodos basados en el uso de la Transformada de Laplace.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de existencia y soluciones de los sistemas homogéneos. Matriz fundamental. Solución del sistema no homogéneo. Método de variación de las constantes. Métodos de reducción de sistemas de orden superior. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes.
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Variable compleja |
Funciones complejas de variable compleja. Potencias, logaritmos, exponenciales, funciones trigonométricas. Límites de las funciones complejas. Derivada de una función compleja en un punto. Ecuaciones de Cauchy Riemann. Funciones analíticas u holomorfas. Funciones armónicas.
Integración curvilínea. Cambio de variable en la parametrización de un camino. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville, principio de módulo máximo. Sucesiones y Series de Funciones Complejas. Series de Laurent. Singularidades. Tipos de singularidades. Teorema de los residuos. Integración. |