Competencias del título |
Código
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Competencias / Resultados del título
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A1 |
Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización |
B1 |
Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio |
B2 |
Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio |
B3 |
Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética |
B4 |
Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado |
B5 |
Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía |
B6 |
Ser capaz de realizar un análisis crítico, evaluación y síntesis de ideas nuevas y complejas. |
C1 |
Utilizar las herramientas básicas de las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) necesarias para el ejercicio de su profesión y para el aprendizaje a lo largo de su vida. |
C2 |
Desenvolverse para el ejercicio de una ciudadanía abierta, culta, crítica, comprometida, democrática y solidaria, capaz de analizar la realidad, diagnosticar problemas, formular e implantar soluciones basadas en el conocimiento y orientadas al bien común. |
C3 |
Entender la importancia de la cultura emprendedora y conocer los medios al alcance de las personas emprendedoras. |
C4 |
Valorar críticamente el conocimiento, la tecnología y la información disponible para resolver los problemas con los que deben enfrentarse. |
C5 |
Asumir como profesional y ciudadano la importancia del aprendizaje a lo largo de la vida. |
C6 |
Valorar la importancia que tiene la investigación, la innovación y el desarrollo tecnológico en el avance socioeconómico y cultural de la sociedad. |
C7 |
Capacidad de trabajar en un entorno multilingüe y multidisciplinar. |
Resultados de aprendizaje |
Resultados de aprendizaje |
Competencias / Resultados del título |
Modelizar determinados procesos -relacionados con las distintas áreas de ingeniería- en los términos propios de las ecuacio es diferenciales |
A1
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B1
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C1 C4 C7
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Afianzar y/o desarrollar los conocimientos básicos necesarios en la materia (álgebra lineal, integración en variable real, transformada de Laplace, series, variable complexa) |
A1
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B1 B2
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C2 C3 C5 C6 C7
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Ser capaz de analizar una ecuación diferencial en términos de su solución mediante el método más sencillo. Discernir en las diferentes posibilidades dependiendo de los valores iniciales y problemas de contorno. |
A1
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B2 B3 B4 B5 B6
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C2 C4
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Dar una solución correcta, concreta e bien definida, a un problema físico o matemático expuesto mediante el uso y resolución de ecuacións diferenciales |
A1
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B6
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C1 C2
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Contenidos |
Tema |
Subtema |
Los bloques o temas siguientes desarrollan los contenidos establecidos en la ficha de la Memoria de Verificación |
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior a uno; transformada de Laplace; ecuaciones definidas por series; sistemas de ecuaciones diferenciales; métodos numéricos de integración: problema de valor inicial; ecuaciones en derivadas parciales; ecuaciones en diferenciales totales y en derivadas parciales no lineales; cálculo en variable compleja
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0. INTRODUCCIÓN |
0. INTRODUCCIÓN.
0.1. Definiciones. Orden de una ecuación diferencial. Clasificación.
0.2. Tipos de soluciones: solución general y solución particular.
0.3. Ecuación diferencial de un haz de curvas planas. Consideraciones geométricas: Curvas isoclinas y curvas integrales.
0.4. Soluciones singulares.
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1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: PRIMER ORDEN. |
1.1. Teorema de existencia y unicidad de la solución.
1.2. Ecuaciones de variables separadas. Trayectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas y polares.
1.3. Ecuaciones reducibles a una de variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones reducibles a homogéneas.
1.4. Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes.
1.5. Factores Integrantes funciones de un sólo argumento. Ecuaciones lineales. Propiedad fundamental de las ecuaciones lineales.
1.6. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicaciones geométricas.
1.7. Ecuaciones de primer orden no lineales en y'. Ecuaciones resolubles en y', resolubles en x, en y. Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
1.8. Interpretación geométrica de las soluciones singulares. Envolvente de un haz de curvas.
1.9. Trayectorias de un haz de curvas planas.
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2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. |
2.1. Definiciones Generales. Génesis de las ecuaciones diferenciales de orden n. Teorema de existencia y unicidad de la solución.
2.2. Tipos de ecuaciones cuyo orden puede rebajarse: ecuaciones en las que falta la y, ecuaciones en las que falta la y y sus "k i" primeras derivadas; ecuaciones en las que falta la x, ecuaciones en las que falta la y y la x, Ecuaciones diferenciales en 2 derivadas. Ecuaciones homogéneas en y, y;.. y . Aplicaciones.
2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Definiciones. Concepto de Operador lineal. Propiedades del operador. Teoremas sobre las soluciones particulares de la ecuación incompleta. Ecuación homogénea y no homogénea. Condición de dependencia de las soluciones particulares.
2.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Forma de la integral general de la ecuación homogénea. Ecuación característica. Solución general de la ecuación completa.
2.5. Métodos para integrar las ecuaciones diferenciales lineales completas. Método de variación de las constantes. Aplicación del método de variación de las constantes en el caso de tener un número insuficiente de soluciones particulares.
2.6. Fórmula de Liouville Ostrogradski.
2.7. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Matriz de Vandermonde. Ecuación característica. Cálculo de raíces. Tipos de raíces: distintas (reales y complejas) y múltiples (reales y complejas). Resolución Ecuación completa. Métodos: 1 º Variación de las constantes. 2º Según la forma de «x).
2.8. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler.
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3. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. |
3.1. Transformada de Laplace. Algunas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades.
3.2. Transformada Inversa. Primer Teorema de desplazamiento.
3.3. Derivada e integrales de transformadas. Aplicaciones.
3.4. Convolución de funciones y producto de transformadas |
4. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINIDAS POR SERIES. |
4.1. Definiciones. Soluciones por Series de Potencias para ecuaciones de primer orden.
4.2. Soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales lineales.
4.3. Ecuación de Legendre.
4.4. Ecuación de Hermite.
4.5. Puntos singulares.
4.6. Solución alrededor de un punto singular.
4.7. Resumen y casos particulares. 4.8. Ecuación de Bessel.
4.9. Propiedades de las funciones de Bessel.
4.10. Funciones modificadas de Bessel.
4.11. Funciones Ber, bei, ker, kei. |
5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. |
5.1. Génesis de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Condiciones de Integrabilidad.
5.2. Métodos de Integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Método de reduces o de eliminación. Métodos basados en el uso del operador D. Métodos basados en el uso de la Transformada de Laplace.
5.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de existencia y. soluciones de los sistemas homogéneos. Matriz fundamental. Solución del sistema no homogeneo. Método de variación de las constantes.
5.4. Métodos de reducción de sistemas de orden superior al 1 Q. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes. |
6. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. |
6.1. Definición. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y cuasilineales.
6.2. Ecuación Funcional.
6.3. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
6.4. Integración de ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
6.5. Ecuaciones homogéneas.
6.6. Integración de ecuaciones en Derivadas parciales con más de 2 variables independientes.
6.7. Ecuaciones en Derivadas Parciales con más de 2 variables independientes.
6.8. Cálculo de superficies Ortogonales. |
7. ECUACIONES EN DIFERENCIALES TOTALES. |
7.1. Definición. Condición de Integrabilidad.
7.2. Método de Integración: Método de Natan.
7.3. Reducción a una ecuación de 2 variables
7.4. Ecuaciones en Diferenciales totales Homogéneas.
7.5. Teorema sobre Integrabilidad.
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8. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES NO LINEALES. |
8.1. Generación de ecuaciones en derivadas parciales no lineales.
8.2. Método de LagrangeCharpit para la obtención de la Integral completa.
8.3. Método de Darboux.
8.4. Soluciones: Integral general y solución Completa. Método de Lagrange de variación de las constantes.
8.5. Integración de casos particulares. |
9. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. |
9.1. Funciones complejas de variable compleja. Potencias, Logaritmos, Exponenciales, Funciones Trigonométricas.
9.2. Límites de las funciones complejas. Derivada de una función compleja en un punto.
9.3. Ecuaciones de Cauchy Riemann. Funciones analíticas u holomorfas. Funciones armónicas.
9.4. Integración curvilínea. Cambio de variable en la parametrización de un camino.
9.5. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville, principio de módulo máximo.
9.6. Sucesiones y Series de Funciones Complejas. Series de Laurent. Singularidades. Tipos de singularidades. Teorema de los residuos. |
Planificación |
Metodologías / pruebas |
Competencias / Resultados |
Horas lectivas (presenciales y virtuales) |
Horas trabajo autónomo |
Horas totales |
Solución de problemas |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 |
28 |
45 |
73 |
Prueba objetiva |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C2 C3 C4 C5 C7 |
5.5 |
8.25 |
13.75 |
Trabajos tutelados |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 |
1 |
1 |
2 |
Sesión magistral |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C6 |
24 |
36 |
60 |
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Atención personalizada |
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1.25 |
0 |
1.25 |
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(*)Los datos que aparecen en la tabla de planificación són de carácter orientativo, considerando la heterogeneidad de los alumnos |
Metodologías |
Metodologías |
Descripción |
Solución de problemas |
Aplicación de diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales a casos prácticos. |
Prueba objetiva |
Prueba escrita utilizada para la evaluación del aprendizaje, cuya característica distintiva es la posibilidad de determinar si las respuestas dadas son o no correctas. |
Trabajos tutelados |
Estudio y desarrollo de un caso concreto para promover el aprendizaxe autónomo del estudiante, bajo la tutela del profesor |
Sesión magistral |
Exposición oral complementada con uso de medios audiovisuales y la introdución de algunas preguntas dirigidas al estudiantado, con la finalidad de transmitir conocimientos y facilitar el aprendizaje.
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Atención personalizada |
Metodologías
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Solución de problemas |
Trabajos tutelados |
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Descripción |
Aplicación de diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales a casos prácticos. |
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Evaluación |
Metodologías
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Competencias / Resultados |
Descripción
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Calificación
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Solución de problemas |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 |
ver observaciones |
10 |
Prueba objetiva |
A1 B1 B2 B3 B4 B5 B6 C2 C3 C4 C5 C7 |
ver observaciones |
90 |
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Observaciones evaluación |
La evaluación se hará a partir de resultados de distintas pruebas objetivas a lo largo del curso, incluidas las convocatorias oficiales. El alumnado con reconocimiento de dedicación a tiempo parcial y dispensa
académica de exención de asistencia podrá optar al 100% de la nota
mediante la realización de las pruebas objetivas que se concreten
durante el curso
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Fuentes de información |
Básica
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Puig Adam: “Curso teórico práctico de Ecuaciones Diferenciales” S.L. Ross: “Ecuaciones diferenciales”, Ed. Reverté MT.E51 Kent Nagle y EdwardB. Saff: “Fundamentos de ecuaciones diferenciales”, Ed. Addison- Wesley MT.E63 Ayres:” Ecuaciones Diferenciales”, Ed. SchaumMT.E81 |
Complementária
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Recomendaciones |
Asignaturas que se recomienda haber cursado previamente |
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Asignaturas que se recomienda cursar simultáneamente |
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Asignaturas que continúan el temario |
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