Datos Identificativos 2017/18
Asignatura (*) ECUACIÓNS DIFERENCIAIS Código 730G03011
Titulación
Grao en Enxeñaría Mecánica
Descriptores Ciclo Período Curso Tipo Créditos
Grao 1º cuadrimestre
Segundo Formación básica 6
Idioma
Castelán
Galego
Modalidade docente Presencial
Prerrequisitos
Departamento Matemáticas
Coordinación
Anton Nacimiento, Jose Augusto
Correo electrónico
jose.augusto.anton@udc.es
Profesorado
Anton Nacimiento, Jose Augusto
Deibe Díaz, Álvaro
Correo electrónico
jose.augusto.anton@udc.es
alvaro.deibe@udc.es
Web
Descrición xeral Esta materia pretende presentar de forma rigorosa todos os métodos clásicos para resolver ecuacións diferenciais, tanto ordinarias como en derivadas parciais. Tamén se presentarán as situacións físicas que conducen á formulación das devanditas ecuacións.

Competencias do título
Código Competencias do título
A1 Capacidade para a resolución dos problemas matemáticos que poidan formularse na enxeñaría. Aptitude para aplicar os coñecementos sobre: álxebra lineal; xeometría; xeometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuacións diferenciais e en derivadas parciais; métodos numéricos; algorítmica numérica; estatística e optimización.
B1 Que os estudantes demostren posuír e comprender coñecementos nunha área de estudo que parte da base da educación secundaria xeral e adoita encontrarse a un nivel que, aínda que se apoia en libros de texto avanzados, inclúe tamén algúns aspectos que implican coñecementos procedentes da vangarda do seu campo de estudo
B2 Que os estudantes saiban aplicar os seus coñecementos ao seu traballo ou vocación dunha forma profesional e posúan as competencias que adoitan demostrarse por medio da elaboración e defensa de argumentos e a resolución de problemas dentro da súa área de estudo
B5 Que os estudantes desenvolvan aquelas habilidades de aprendizaxe necesarias para emprenderen estudos posteriores cun alto grao de autonomía
B6 Ser capaz de concibir, deseñar ou poñer en práctica e adoptar un proceso substancial de investigación con rigor científico para resolver calquera problema formulado, así como de comunicar as súas conclusións –e os coñecementos e razóns últimas que as sustentan– a un público tanto especializados como leigo dun xeito claro e sen ambigüidades
B7 Ser capaz de realizar unha análise crítica, avaliación e síntese de ideas novas e complexas
C1 Utilizar as ferramentas básicas das tecnoloxías da información e as comunicacións (TIC) necesarias para o exercicio da súa profesión e para a aprendizaxe ao longo da súa vida.
C4 Valorar criticamente o coñecemento, a tecnoloxía e a información dispoñible para resolver os problemas cos que deben enfrontarse.
C5 Asumir como profesional e cidadán a importancia da aprendizaxe ao longo da vida.

Resultados de aprendizaxe
Resultados de aprendizaxe Competencias do título
Modelizar determinados procesos -relacionados cas distintas áreas da enxeñaría- nos termos propios das ecuacións diferenciais. A1
B1
C1
C4
Afianzar e/ou desenvolver os coñecementos básicos necesarios na materia (álxebra lineal, integración en variable real, transformada de Laplace, series, variable complexa). A1
B5
C5
Ser capaz de analizar unha ecuación diferencial en termo á súa solución mediante o método máis sinxelo. Discernir as diferentes posibilidades dependendo tamén dos valores iniciais ou problemas de contorno. A1
B2
B7
C4
Dar unha solución correcta, concreta e ben definida, ao problema físico ou matemático exposto mediante o uso e resolución de ecuacións diferenciais. A1
B2
B6
C1

Contidos
Temas Subtemas
Os bloques e temas seguintes desenvolven os contidos establecidos na Memoria de verificación. Ecuacións diferenciais ordinarias de primeira orde. Ecuacións diferenciais de orde superior. Transformada de Laplace. Ecuacións definidas por series. Sistemas de ecuacións diferenciais. Ecuacións en derivadas parciais. Variable complexa.
Introdución as ecuacións diferenciais Definicións. Orde dunha ecuación diferencial. Clasificación. Tipos de solucións: solución xeral e solución particular. Ecuación diferencial dun feixe de curvas planas. Consideracións xeométricas: Curvas isoclinas e curvas integrais. Solucións singulares.
Ecuacións diferenciais ordinarias de primeira orde. Teorema de existencia e unicidad da solución. Ecuacións de variables separadas. Traxectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas e polares. Ecuacións reducibles a unha de variables separadas. Ecuacións homoxéneas. Ecuacións reducibles a homoxéneas. Ecuacións diferenciais exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes. Factores Integrantes funcións dun só argumento. Ecuacións lineais. Propiedade fundamental das ecuacións lineais. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicacións xeométricas. Ecuacións de primeira orde non lineais en y. Ecuacións resolubles en y, resolubles en x, en y. Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut. Interpretación xeométrica das solucións singulares. Envolvente dun feixe de curvas. Traxectorias dun feixe de curvas planas.
Ecuacións diferenciais de orde superior Definicións Xerais. Xénese das ecuacións diferenciais de orde n. Teorema de existencia e unicidad da solución.
Tipos de ecuacións cuxo orde pode rebaixarse: ecuacións nas que falta a e, ecuacións nas que falta a e e as súas primeiras derivadas; ecuacións nas que falta a x, ecuacións nas que falta a e e a x, Ecuacións diferenciais en 2 derivadas. Ecuacións homogéneas en e, e;.. e . Aplicacións.
Ecuacións diferenciais lineais de orde n. Definicións. Concepto de Operador lineal. Propiedades do operador. Teoremas sobre as solucións particulares da ecuación incompleta. Ecuación homogénea e non homogénea. Condición de dependencia das solucións particulares.
Ecuacións diferenciais lineais homogéneas con coeficientes constantes. Forma da integral xeneral da ecuación homogénea. Ecuación característica. Solución xeral da ecuación completa.
Métodos para integrar as ecuacións diferenciais lineais completas. Método de variación das constantes. Aplicación do método de variación das constantes no caso de ter un número insuficiente de solucións particulares.
Fórmula de Liouville Ostrogradski.
Ecuacións diferenciais lineais con coeficientes constantes. Matriz de Vandermonde. Ecuación característica. Cálculo de raíces. Tipos de raíces: distintas (reais e complexas) e múltiples (reais e complexas). Resolución Ecuación completa. Métodos: 1 º Variación das constantes. 2º Segundo a forma de x).
Ecuacións diferenciais lineais con coeficientes variables. Ecuación de Euler.
Transformada de Laplace Transformada de Laplace. Algunhas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades.
Transformada Inversa. Primeiro Teorema de desprazamento.
Derivada e integrais de transformadas. Aplicacións.
Convolución de funcións e produto de transformadas.
Ecuacións definidas por series Definicións. Solucións por Series de Potencias para ecuacións de primeira orde.
Solucións analíticas de ecuacións diferenciais lineais.
Ecuación de Legendre.
Ecuación de Hermite.
Puntos singulares.
Solución ao redor dun punto singular.
Resumo e casos particulares. 4.8. Ecuación de Bessel.
Propiedades das funcións de Bessel.
Funcións modificadas de Bessel.
Funcións Ber, bei, ker, kei.
Sistemas de ecuacións diferenciais Xénese dos sistemas de ecuacións diferenciais. Condicións de Integrabilidad.
Métodos de Integración dos sistemas de ecuacións diferenciais. Método de reduces ou de eliminación. Métodos baseados no uso do operador D. Métodos baseados no uso da Transformada de Laplace.
Sistemas de ecuacións diferenciais lineais. Teorema de existencia e solucións dos sistemas homoxéneos. Matriz fundamental. Solución do sistema non homoxéneo. Método de variación das constantes.
Métodos de redución de sistemas de orde superior a un. Sistemas de ecuacións diferenciais lineais homoxéneos con coeficientes constantes.
Ecuacións en derivadas parciais Definición. Ecuacións en derivadas parciais lineais e case-lineais. Ecuación funcional. Ecuacións en derivadas parciais de primeira orde. Integración de ecuacións en derivadas parciais de primeira orde. Ecuacións homoxéneas. Integración de ecuacións en derivadas parciais con máis de duas variables independentes. Cálculo de superficies ortogonais.
Variable complexa Funcións complexas de variable complexa. Potencias, logaritmos, exponenciais, funcións trigonométricas. Límites das funcións complexas. Derivada dunha función complexa nun punto. Ecuacións de Cauchy Riemann. Funcións analíticas ou holomorfas. Funcións harmónicas.

Planificación
Metodoloxías / probas Competencias Horas presenciais Horas non presenciais / traballo autónomo Horas totais
Sesión maxistral A1 B1 B5 C4 C5 15 15 30
Solución de problemas A1 B2 C1 C4 30 45 75
Traballos tutelados A1 B6 B7 C1 10 26 36
Proba obxectiva A1 B2 C4 8 0 8
 
Atención personalizada 1 0 1
 
*Os datos que aparecen na táboa de planificación son de carácter orientativo, considerando a heteroxeneidade do alumnado

Metodoloxías
Metodoloxías Descrición
Sesión maxistral Desenvolvemento dos contidos máis teóricos da materia así como dos principais métodos prácticos de resolución de ecuacións. Utilizaranse medios audiovisuais e fomentarase a participación do alumno.
Solución de problemas Aplicación dos diferentes métodos de resolución das ecuacións diferenciais a casos prácticos. Realizaranse problemas na lousa e outros os realizarán os propios alumnos en clase mentres o profesor atende as dúbidas que poidan xurdir.
Traballos tutelados Probas que se realizarán en clase despois de verificar o traballo de alumno nun conxunto de problemas. Os traballos poden ser tutelados.
Proba obxectiva Proba escrita para avaliar a aprendizaxe dos diferentes métodos de resolución de ecuacións diferenciais.

Atención personalizada
Metodoloxías
Sesión maxistral
Solución de problemas
Traballos tutelados
Descrición
Atender as necesidades e consultas do alumno relacionadas ca materia e o estudio.

Avaliación
Metodoloxías Competencias Descrición Cualificación
Proba obxectiva A1 B2 C4 Examen final da materia. 70
Traballos tutelados A1 B6 B7 C1 Probas obxectivas que se realizarán durante o curso despois de verificar os traballos realizados polos alumnos (ata un 30 %) 30
 
Observacións avaliación

O alumnado con recoñecemento de dedicación a tempo parcial e dispensa académica de exención de asistencia poderá optar o 100% da nota mediante a realización das probas obxectivas que se concreten durante o curso.


Fontes de información
Bibliografía básica Granero, F. (). Calculo integral. Addison Wesley
Simmons (). Ecuaciones diferenciales. Mc Graw Hill
Nagle (). Ecuaciones diferenciales. Addison Wesley
Spiegel (). Ecuaciones diferenciales aplicadas. Prentice Hall
López Rodríguez (). Problemas resueltos de ec. diferenciales. Thomson

Bibliografía complementaria Giordano/ Weir (). Differential Equations. Addison Wesley
Ledder (). Ecuaciones diferenciales. Mc Graw Hill
Ward Brown (). Variable compleja. Mc Graw Hill


Recomendacións
Materias que se recomenda ter cursado previamente
CÁLCULO/730G03001
ÁLXEBRA/730G03006

Materias que se recomenda cursar simultaneamente

Materias que continúan o temario

Observacións


(*)A Guía docente é o documento onde se visualiza a proposta académica da UDC. Este documento é público e non se pode modificar, salvo casos excepcionais baixo a revisión do órgano competente dacordo coa normativa vixente que establece o proceso de elaboración de guías