| Topic |
Sub-topic |
Os bloques ou temas seguintes desenvolven os contidos establecidos na ficha da Memoria de Verificación, os cales son:
Bloque I. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Bloque II. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales |
Ecuacions diferenciaies ordinarias de primer orden; ecuacions diferenciais ordinarias de orden superior a un; transformada de Laplace; ecuacions definidas por series; sistemas de ecuacions diferenciais; métodos numéricos de integración: problema de valor inicial; ecuacions en derivadas parciais; ecuacions en diferenciales totais e en derivadas parciales non lineais; cálculo en variable complexa |
| 0. INTRODUCCIÓN |
0.1. Definicións. Orde dunha ecuación diferencial. Clasificación.
0.2. Tipos de solucións: solución xeral e solución particular.
0.3. Ecuación diferencial dun feixe de curvas planas. Consideracións xeométricas: Curvas isoclinas e curvas integrais.
0.4. Solucións singulares. |
1. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS: PRIMEIRA ORDE.
|
1. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS: PRIMEIRA ORDE.
1.1. Teorema de existencia e unicidad da solución.
1.2. Ecuacións de variables separadas. Traxectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas e polares.
1.3. Ecuacións reducibles a unha de variables separadas. Ecuacións homogéneas. Ecuacións reducibles a homogéneas.
1.4. Ecuacións diferenciais exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes.
1.5. Factores Integrantes funcións dun só argumento. Ecuacións lineais. Propiedade fundamental das ecuacións lineais.
1.6. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicacións xeométricas.
1.7. Ecuacións de primeira orde non lineais en y. Ecuacións resolubles en y, resolubles en x, en y'. Ecuación de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
1.8. Interpretación xeométrica das solucións singulares. Envolvente dun feixe de curvas.
1.9. Traxectorias dun feixe de curvas planas. |
| 2. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DE ORDE SUPERIOR. |
2.1. Definicións Xerais. Xénese das ecuacións diferenciais de orde n. Teorema de existencia e unicidad da solución.
2.2. Tipos de ecuacións cuxo orde pode rebaixarse: ecuacións nas que falta a y, ecuacións nas que falta a y e as súas n-1 primeiras derivadas; ecuacións nas que falta a x, ecuacións nas que falta a y e a x, Ecuacións diferenciais en 2 derivadas. Ecuacións homogéneas en y, y' ;.. y(n . Aplicacións.
2.3. Ecuacións diferenciais lineais de orde n. Definicións. Concepto de Operador lineal. Propiedades do operador. Teoremas sobre as solucións particulares da ecuación incompleta. Ecuación homogénea e non homogénea. Condición de dependencia das solucións particulares.
2.4. Ecuacións diferenciais lineais homogéneas con coeficientes constantes. Forma da integral xeneral da ecuación homogénea. Ecuación característica. Solución xeral da ecuación completa.
2.5. Métodos para integrar as ecuacións diferenciais lineais completas. Método de variación das constantes. Aplicación do método de variación das constantes no caso de ter un número insuficiente de solucións particulares.
2.6. Fórmula de Liouville Ostrogradski.
2.7. Ecuacións diferenciais lineais con coeficientes constantes. Matriz de Vandermonde. Ecuación característica. Cálculo de raíces. Tipos de raíces: distintas (reais e complexas) e múltiples (reais e complexas). Resolución Ecuación completa. Métodos: 1 º Variación das constantes. 2º Segundo a forma de h(x).
2.8. Ecuacións diferenciais lineais con coeficientes variables. Ecuación de Euler.
|
| 3. INTRODUCIÓN Á TRANSFORMADA DE LAPLACE. |
3.1. Transformada de Laplace. Algunhas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades.
3.2. Transformada Inversa. Primeiro Teorema de desprazamento.
3.3. Derivada e integrais de transformadas. Aplicacións.
3.4. Convolución de funcións e produto de transformadas.
|
| 4. SOLUCIÓNS DE ECUACIÓNS DIFERENCIAIS DEFINIDAS POR SERIES. |
4.1. Definicións. Solucións por Series de Potencias para ecuacións de primeira orde.
4.2. Solucións analíticas de ecuacións diferenciais lineais.
4.3. Ecuación de Legendre.
4.4. Ecuación de Hermite.
4.5. Puntos singulares.
4.6. Solución ao redor dun punto singular.
4.7. Resumo e casos particulares.
4.8. Ecuación de Bessel.
4.9. Propiedades das funcións de Bessel.
4.10. Funcións modificadas de Bessel.
4.11. Funcións Ber, bei, ker, kei.
|
| 5. SISTEMAS DE ECUACIÓNS DIFERENCIAIS. |
5.1. Xénese dos sistemas de ecuacións diferenciais. Condicións de Integrabilidad.
5.2. Métodos de Integración dos sistemas de ecuacións diferenciais. Método de reducción ou de eliminación. Métodos baseados no uso do operador D. Métodos baseados no uso da Transformada de Laplace.
5.3. Sistemas de ecuacións diferenciais lineais. Teorema de existencia e solucións dos sistemas homoxéneos. Matriz fundamental. Solución do sistema non homoxéneo. Método de variación das constantes.
5.4. Métodos de redución de sistemas de orde superior. Sistemas de ecuacións diferenciais lineais homoxéneos con coeficientes constantes.
|
| 6. ECUACIÓNS EN DERIVADAS PARCIAIS. |
6.1. Definición. Ecuacións en derivadas parciais lineais e cuasilineales.
6.2. Ecuación Funcional.
6.3. Ecuacións en derivadas parciais de primeira orde.
6.4. Integración de ecuacións en derivadas parciais de primeira orde.
6.5. Ecuacións homogéneas.
6.6. Integración de ecuacións en Derivadas parciais con máis de 2 variables independentes.
6.7. Ecuacións en Derivadas Parciais con máis de 2 variables independentes.
6.8. Cálculo de superficies Ortogonales.
|
| 7. ECUACIÓNS EN DIFERENCIAIS TOTAIS. |
7.1. Definición. Condición de Integrabilidad.
7.2. Método de Integración: Método de Natan.
7.3. Redución a unha ecuación de 2 variables.
7.4. Ecuacións en Diferenciais totais Homogéneas.
7.5. Teorema sobre Integrabilidad
|
| 8. ECUACIÓNS EN DERIVADAS PARCIAIS NON LINEAIS. |
8.1. Xeración de ecuacións en derivadas parciais non lineais.
8.2. Método de LagrangeCharpit para a obtención da Integral completa.
8.3. Método de Darboux.
8.4. Solucións: Integral xeneral e solución Completa. Método de Lagrange de variación das constantes.
8.5. Integración de casos particulares.
|
| 9. FUNCIÓNS DE VARIABLE COMPLEXA. |
9.1. Funcións complexas de variable complexa. Potencias, Logaritmos, Exponenciais, Funcións Trigonométricas.
9.2. Límites das funcións complexas. Derivada dunha función complexa nun punto.
9.3. Ecuacións de Cauchy Riemann. Funcións analíticas ou holomorfas. Funciones harmónicas.
9.4. Integración curvilínea. Cambio de variable na parametrización dun camiño.
9.5. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville, principio de módulo máximo.
9.6. Sucesións e Series de Funcións Complexas. Series de Laurent. Singularidades. Tipos de singularidades. Teorema dos residuos.
|