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Escuela Politécnica Superior
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Grao en Enxeñaría Mecánica
 Asignaturas
  ECUACIONES DIFERENCIALES
   Contenidos
Tema Subtema
Los bloques o temas siguientes desarrollan los contenidos establecidos en la ficha de la Memoria de Verificación Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden; ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior; transformada de Laplace; ecuaciones definidas por series; sistemas de ecuaciones diferenciales; ecuaciones en derivadas parciales; ecuaciones en diferenciales totales y en derivadas parciales no lineales; cálculo en variable compleja.
Introducción a las ecuaciones diferenciales Clasificación de una ecuación diferencial. Análisis del tipos de soluciones: solución general y solución particular. Ecuación diferencial de un haz de curvas planas. Consideraciones geométricas: curvas isoclinas y curvas integrales. Soluciones singulares.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Teorema de existencia y unicidad de la solución.
Ecuaciones en variables separadas. Trayectorias Ortogonales e isogonales. Coordenadas cartesianas y polares. Ecuaciones reducibles a una ecuación en variables separadas.
Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas.
Ecuaciones diferenciales exactas. Factores integrantes. Relación funcional entre factores integrantes. Factores Integrantes funciones de un sólo argumento.
Ecuaciones lineales. Propiedad fundamental de las ecuaciones lineales.
Ecuación de Bemoulli. Ecuación de Ricatti. Aplicaciones geométricas.
Ecuaciones de primer orden no lineales en la derivada. Ecuaciones resolubles en la derivada, resolubles en la variable independiente, en la variable dependiente. Ecuacion de Lagrange. Ecuación de Clairaut.
Interpretación geométrica de las soluciones singulares: envolvente de un haz de curvas.
Trayectorias de un haz de curvas planas.
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior a uno Definiciones Generales.
Tipos de ecuaciones cuyo orden puede rebajarse.
Ecuaciones homogéneas. Aplicaciones.
Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Definiciones. Concepto de operador lineal y propiedades del operador de derivación.
Ecuación homogénea y no homogénea: condición de independencia lineal de las soluciones particulares en las ecuaciones no homogéneas. Métodos para integrar las ecuaciones diferenciales lineales completas. Método de variación de las constantes. Aplicación del método de variación de las constantes en el caso de tener un número insuficiente de soluciones particulares. Fórmula de Liouville Ostrogradski.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Forma de la integral general de la ecuación homogénea. Ecuación característica. Cálculo de raíces. Solución general de la ecuación completa mediante coeficientes indeterminados.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables: ecuación de Euler.
Transformada de Laplace Transformada de Laplace. Algunas transformadas inmediatas. Teorema de existencia: condición suficiente. Propiedades. Funciones definidas a trozos. Funciones periódicas.
Transformada Inversa. Primer Teorema de desplazamiento. Derivada e integrales de transformadas. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Convolución de funciones y producto de transformadas.
Convolución de funcións e produto de transformadas.
Ecuaciones definidas por series Definiciones. Soluciones por series de potencias para ecuaciones de primer orden. Soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales lineales. Ecuación de Legendre. Ecuación de Hermite. Puntos singulares. Solución alrededor de un punto singular. Resumen y casos particulares. Ecuación de Bessel. Propiedades de las funciones de Bessel. Funciones modificadas de Bessel. Funciones Ber, bei, ker, kei.
Sistemas de ecuacións diferenciais Condiciones de Integrabilidad. Métodos de Integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Métodos basados en el uso del operador D. Métodos basados en el uso de la Transformada de Laplace.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teorema de existencia y soluciones de los sistemas homogéneos. Matriz fundamental. Solución del sistema no homogéneo. Método de variación de las constantes. Métodos de reducción de sistemas de orden superior. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes.
Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Definición. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y cuasi-lineales. Ecuación funcional. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden.
Variable compleja Funciones complejas de variable compleja. Potencias, logaritmos, exponenciales, funciones trigonométricas. Límites de las funciones complejas. Derivada de una función compleja en un punto. Ecuaciones de Cauchy Riemann. Funciones analíticas u holomorfas. Funciones armónicas.
Integración curvilínea. Cambio de variable en la parametrización de un camino. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Morera. Teorema de Liouville, principio de módulo máximo. Sucesiones y Series de Funciones Complejas. Series de Laurent. Singularidades. Tipos de singularidades. Teorema de los residuos. Integración.
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