Guía DocenteCurso
Escola Técnica Superior de Náutica e Máquinas
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Grao en Náutica e Transporte Marítimo
 Asignaturas
  Matemáticas I
   Contidos
Temas Subtemas
Tema 1.- Espacios Vectoriales
 1.1.- Espacio Vectorial. Definición. Ejemplos y Propiedades
1.2.- Subespacio Vectorial
1.3.- Sistema de Generadores de un Subespacio
1.4.- Dependencia e Independencia Lineal
1.5.- Base de un Espacio Vectorial. Espacios de Dimensión Finita.
1.6.- Cambio de Base en un Espacio Vectorial
1.7.- Unión e Intersección de Subespacios
1.8.- Suma de Subespacios. Suma Directa. Subespacios Suplementarios
1.9.- Producto de Espacios Vectoriales
Tema 2.- Aplicaciones Lineales y Matrices. Transformaciones afines.
 2.1.- Aplicación Lineal: Definición, Ejemplos, Propiedades y Tipos de Aplicaciones Lineales
2.2.- Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal
2.3.- Determinación de una Aplicación Lineal. Matriz Asociada
2.4.- Suma de Aplicaciones Lineales. Producto por un Escalar. Matrices Asociadas
2.5.- Espacio Vectorial de Matrices
2.6.- Composición de Aplicaciones Lineales. Matriz Asociada.
2.7.- Producto de Matrices. Anillo de Matrices Cuadradas
2.8.- Algunos Tipos Particulares de Matrices
2.9.- Matriz Traspuesta de una Matriz dada. Matriz Simétrica, Antisimétrica y Ortogonal.
2.10.- Matrices de Elementos Complejos.
Tema 3.- Determinantes.
 3.0.- Permutaciones. Clase de una Permutación.
3.1.- Determinante de una Matriz Cuadrada. Regla de Sarrus.
3.2.- Propiedades de los Determinantes.
3.3.- Métodos Reductivos de Cálculo de Determinantes. Desarrollo por Adjuntos. Regla de Laplace.
3.4.- Producto de Determinantes.
3.5.- Algunos Determinantes Especiales
3.6.- Matriz Inversa
3.7.- Rango o Característica de una Matriz.
3.8.- Rango de un Sistema de Vectores
3.9.- Expresión del Cambio de Base de un Espacio Vectorial en Forma Matricial
Tema 4.- Sistemas de Ecuaciones Lineales.
 4.1.- Definiciones. Clasificación. Notación Matricial.
4.2.- Sistemas Equivalentes
4.3.- Sistema de Cramer. Regla de Cramer
4.4.- Sistema General de Ecuaciones Lineales. Teorema de Rouché-Frobenius
4.5.- Sistemas Homogéneos
4.6.- Métodos de Resolución por Reducción. Método de Gauss
Tema 5.- Diagonalización de Matrices.
 5.1.- Vectores y Valores Propios. Propiedades.
5.2.- Polinomio Característico. Propiedades.
5.3.- Matrices Diagonalizables. Diagonalización.
5.4.- Diagonalización de Matrices Simétricas.
Tema 6.- El Espacio Afin E3. Problemas de Incidencia y Paralelismo.
 6.1.- Espacio Afín Asociado a un Espacio Vectorial. Sistema de Referencia. Coordenadas.
6.2.- Determinación y Ecuación de una Recta.
6.3.- Posiciones Relativas de Rectas.
6.4.- Determinación y Ecuación de un Plano.
6.5.- Posiciones Relativas de Planos. Haz de Planos.
6.6.- Posiciones Relativas de Recta y Plano.
Tema 7.- Espacio Vectorial Euclídeo. Productos Escalar, Vectorial y Mixto.
 7.1.- Producto Escalar
7.2.- Determinación de un Producto Escalar. Matriz de Gram.
7.3.- Espacio Vectorial Euclídeo.
7.4.- Norma de un Vector. Igualdades y Desigualdades Importantes.
7.5.- Angulo de Vectores. Ortogonalidad.
7.6.- Referencia Ortonormal. Expresión del Producto Escalar en una Base Ortonormal.
7.7.- Espacio Euclídeo R3
7.8.- Orientación en el Espacio Euclídeo R3
7.9.- Producto Vectorial en el Espacio R3 . Propiedades. Expresión Analítica.
7.10.- Producto Mixto. Expresión Analítica. Interpretación Geométrica.
7.11.- Productos Combinados.
Tema 8.- Espacio Euclídeo Ordinario . Problemas Métricos.
 8.1.- Ecuación Normal de un Plano.
8.2.- Ángulo entre Variedades de R3 : Ángulo de Dos Planos, Ángulo de Dos Rectas, Ángulo de Recta y Plano.
8.3.- Distancia entre Variedades de R3 : Distancia de un Punto a un Plano, Distancia de un Punto a una Recta. Distancia entre dos Planos, Distancia entre Recta y Plano. Distancia entre dos Rectas. Recta Perpendicular Común.
8.4.- Coordenadas Cilíndricas o Semipolares. Coordenadas Esféricas o Polares en R3 .
Tema 9.- Funciones Reales de Variable Real. Continuidad.
 9.1.- Definiciones Básicas.
9.2.- Límites Funcionales.
9.3.- Continuidad. Tipos de Discontinuidad.
9.4.- Propiedades y Teoremas sobre Funciones Continuas.
Tema 10.- Derivabilidad y Aplicaciones de las Derivadas.
 10.1.- Derivada y Diferencial de una Función en un Punto. Significado Geométrico.
10.2.- Propiedades y Cálculo de Derivadas.
10.3.- Función Derivada. Derivadas Sucesivas.
10.4.- Aplicaciones de las Derivadas al Estudio Local de una Función: Crecimiento y Decrecimiento. Máximos y Mínimos. Concavidad y Convexidad. Puntos de Inflexión.
10.5.- Teoremas de Rolle y del Valor Medio.
10.6.- Reglas de L´Hôpital
Tema 11.- Teorema de Taylor. Aplicaciones

 11.1.- Expresión de un Polinomio mediante sus Derivadas en un Punto.
11.2.- Polinomio y Teorema de Taylor. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin.
11.3.- Expresión de Lagrange del Resto. Acotación del Resto.
11.4.- Aplicaciones al Estudio Local de una Función: Crecimiento y Decrecimiento. Máximos y Mínimos. Concavidad y Convexidad. Puntos de Inflexión.
Tema 12.- Representación Gráfica de Funciones
 12.1.- Dominio y Continuidad
12.2.- Simetrías
12.3.- Períodos
12.4.- Cortes con los Ejes Coordenados
12.5.- Derivadas Sucesivas para estudiar: Crecimiento y Decrecimiento. Máximos y Mínimos. Concavidad y Convexidad. Puntos de Inflexión.
12.6.- Asíntotas y Ramas Parabólicas
Tema 13.- Sucesiones y Series Numéricas
 13.1.- Definiciones Generales. Tipos de Sucesiones.
13.2.- Cálculo Práctico de Límites
13.3.- Definiciones Generales. Principales Tipos de Series Numéricas.
13.4.- Propiedades de las Series Numéricas. Criterios de Convergencia para Series de Términos Positivos.
13.5.- Series de Términos Positivos y Negativos. Series Alternadas.
Tema 14.- Sucesiones y Series Funcionales. Series de Potencias.
 14.1.- Definiciones Generales.
14.2.- Series de Potencias. Convergencia.
14.3.- Desarrollos en Serie.
14.4.- Series de Taylor y Mac Laurin.
14.5.- Series Binomiales.
14.6.- Método de los Coeficientes Indeterminados.
Tema 15.- Integración Indefinida de Funciones de una Variable Real
 15.1.- Definiciones Generales. Tabla de Primitivas.
15.2.- Integración Inmediata
15.3.- Integración por Partes
15.4.- Integración de Funciones Racionales
15.5.- Integración por Sustitución o Cambio de Variable
Tema 16.- Integración Definida. Aplicaciones.
 16.1.- Definiciones Generales
16.2.- Propiedades
16.3.- Teorema del Valor Medio. Regla de Barrow.
16.4.- Evaluación de Integrales Definidas.
16.5.- Integrales Impropias.
16.6.- Aplicaciones de la Integral Definida
Tema 17.- Números Complejos. 17.1.- Definiciones Generales
17.2.- Operaciones Fundamentales
17.3.- Potencias y Raíces
17.4.- Forma Exponencial de un Complejo
17.5.- Logaritmos y Potencias Complejas.
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