Guía DocenteCurso
Escola Técnica Superior de Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos
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Grao en Enxeñaría de Obras Públicas
 Asignaturas
  Cálculo
   Contidos
Temas Subtemas
I. NÚMEROS. ESPACIOS MÉTRICOS 1. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Números naturales. Números enteros. Números racionales.
2. El cuerpo ordenado de los números reales. Representación decimal. Cotas. Conjuntos acotados. Números irracionales.
3. Valor absoluto. Propiedades.
4. Números Complejos.
5. Espacios métricos. Topología elemental de R y Rn
II. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 1. Sucesiones. Definición. Límite de una sucesión. Tipo de sucesiones. Sucesiones acotadas.
2. Propiedades de los límites.
3. Sucesiones monótonas.
4. Operaciones con límites.
5. Indeterminaciones.
6. Criterios de convergencia. Criterio de Stolz.
7. Infinitos e infinitésimos. Sucesiones equivalentes. Métodos de cálculo de límites.
III. FUNCIONES EN R. 1.Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido. Extremos de una función.

2. Límite funcional. Definición. Límites laterales. Límite infinito y límite en el infinito. Relación entre el límite funcional y el límite por sucesiones. Propiedades de los límites. Tipos de indeterminación. Infinitos e infinitésimos. Funciones equivalentes en un punto. Sustitución por funciones equivalentes.

3. Funciones continuas. Definición Continuidad lateral. Discontinuidades. Operaciones con funciones continuas. Teoremas de las funciones continuas.

4. Funciones diferenciables. Derivada y diferencial. Relación entre continuidad y diferenciabilidad. Operaciones con funciones diferenciables. Regla de la cadena. Derivada de la función inversa. Teoremas del valor medio. Derivadas laterales. Reglas de L’Hôpital. Derivadas sucesivas. Desarrollos de Taylor y MacLaurin. Resto de Lagrange. Extremos relativos y absolutos. Cálculo de extremos de funciones.
IV. INTEGRACIÓN 1. Primitiva de una función.
2. Integral de Riemann. Definición. Propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral.
3. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
4. Aplicaciones geométricas de la integral.
5. Integrales impropias.
V. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 1. Límites y continuidad. Diferenciabilidad. Derivada direccional. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior.
2. Composición de funciones. Regla de la cadena.
3. Cálculo de extremos de funciones reales de varias variables. Puntos críticos. Matriz Hessiana.
4. Función implícita.
5. Extremos condicionados.
6. Integración de varias variables.
VI. SERIES DE NÚMEROS REALES 1. Definiciones. Serie aritmética y geométrica. Condición necesaria de convergencia.
2. Propiedades de las series.
3. Series de términos positivos. Criterios de convergencia.
4. Series de términos positivos y negativos. Convergencia y divergencia absoluta e incondicional. Series alternadas. Teorema de Leibnitz. Sumación de series.
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