| Temas |
Subtemas |
| Os bloques ou temas seguintes desenvolven os contidos establecidos na ficha da Memoria de Verificación |
Erros no cálculo numérico. Ecuacións e sistemas de ecuacións alxebraicas. Sistemas de ecuacións lineais. Valores e vectores propios. Interpolación e aproximación de funcións. Diferenciación e integración. Integración de ecuacións diferenciais ordinarias. Ecuacións diferenciais en derivadas parciais. |
| Introdución |
Definición de Métodos Numéricos. Evolución histórica da resolución de problemas en Enxeñería. Fundamentos Matemáticos. Modelos Matemáticos. Fórmulas de Recorrencia e Aproximacións Sucesivas. Etapas no proceso de resolución dun problema. Algoritmos Numéricos. Estabilidade e Converxencia dun Método Numérico. |
| Errores no cálculo numérico |
Cifras significativas. Exactitude e precisión. Definición de error. Fontes de error. Errores inherentes. Errores de redondeo. Tratamento dos números no computador: representación binaria. Errores de truncamento. Condición numérica. Error numérico total. Propagación de error. Estabilidade e converxencia. |
| MATLAB |
Introdución de matrices. Operacións con matrices e vectores. Instrucións, expresións e variables. Funcións para a construcción de matrices. Instrucións for, while e if. Funcións sobre escalares. Funcións sobre vectores. Funcións con matrices. Submatrices e operador ":". M-files: funcións e scripts. Cadenas de caracteres, mensaxes de error e entrada de datos. Comparación da eficiencia de algoritmos. Gráficos. |
| Resolución de ecuacións e sistemas de ecuacións Alxebraicos |
Métodos Cerrados: Métodos Gráficos. Método da Biseción. Método da Falsa Posición. Determinación do punto inicial e do incremento na búsqueda. Métodos Abertos: Método da Iteración de Punto Fixo. Método de Newton-Raphson. Estudio da Converxencia. Método da Secante. Análisis do error e razón de converxencia: ecuación da catenaria. Aceleración da converxencia: método Delta2 de Aitken, método de Steffensen. Ceros de polinomios: método de Honer para a evaluación dun polinomio, método de Müller. Sistemas de Ecuacións non lineais: Iteración de Punto Fixo. Iteración de Seidel. Método de Newton. Método de Broyden. Aplicacións. |
| Normas de vectores e matrices |
Normas de vectores. Propiedades. Normas de matrices. Propiedades. Norma natural infinito dunha matriz. |
| Resolución de sistemas de ecuacións lineais |
Fundamentos de Álxebra sobre a existencia de solución dun sistema de Ecuacións Lineais. Métodos para baixo número de ecuacións. Triangularización de Gauss. Reconto de operacións. Inconvenientes dos métodos de eliminación. Técnicas para mellorar a solución: Escalado, Pivotamento Parcial e Total. Inversión de matrices. O algoritmo da triangularización de Gauss con e sen pivotamento. Descomposición LU xeral. Triangularización de Gauss e descomposición LU. Factorización de Crout. Factorización de Cholesky. Métodos Iterativos: Método de Jacobi. Método de Gauss-Seidel. Errores en sistemas de ecuacións: condición numérica. |
| Valores e vectores propios |
Nocións xerais: o problema de valores e vectores propios ordinario e xeneralizado. Método da iteración directa para o cálculo do maior valor propio dunha matriz. Iteración inversa: cálculo do menor valor propio. Iteración inversa con desplazamiento. Cálculo de todolos valores propios dunha matriz: cálculo dos coeficientes do polinomio característico dunha matriz: métodos de Krylov e Le Verrier. Cálculo dos valores propios dunha matriz simétrica: método de Jacobi, tridiagonalización de Givens y Householder, descomposición QR. Tratamento de matrices non simétricas: métodos de Lanczos e tipo Jacobi. Aplicacións. |
| Interpolación e aproximación de funcións |
Tipos de problemas y aplicacións. Interpolación: polinomio de Lagrange. Existencia e unicidade. Métodos para a evaluación do polinomio: cálculo directo dos coeficientes, método dos polinomios básicos e método das diferenzas divididas. Estimación do error na interpolación. Osculación: polinomio de Hermite. Ajuste de mínimos cuadrados: determinación da ecuación dunha recta, un polinomio de orden m e dunha función calquera. Splines cúbicos. |
| Diferenciación e integración numérica |
Introdución: conceptos básicos. Fórmulas de integración de Newton-Cotes: regla do trapecio, regla de Simpson 1/3 e regla de Simpson 3/8. Integración de funcións: integración de Romberg, extrapolación de Richardson e fórmulas de Gauss-Legendre. Diferenciación numérica: aproximacións de primer orden e órdenes superiores. Extrapolación de Richardson. |
| Integración de ecuacións diferenciais ordinarias. Problema de valor inicial |
Introdución: conceptos básicos. Métodos dunha etapa: Euler Adiante, Euler Atrás, Heun, fórmulas de Runge-Kutta. Métodos de etapas múltiples: Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Estudio da estabilidade no caso y=exp(x). Estimación do error e métodos adaptativos. Aplicacións. |
| Métodos de diferencias para a integración numérica de ecuacións diferenciais parciais |
Problemas físicos que responden a un modelo definido por ecuacións diferenciales en derivadas parciais. Ecuacións diferenciais parciais elípticas. Ecuacións diferenciais parciais parabólicas. Ecuacións diferenciais parciais hiperbólicas. Solución de casos prácticos con MATLAB. |
Asignaturas